Система MathCAD Plus 6.0 Pro




Система MathCAD Plus 6.0 Pro - стр. 69


Приведенный ряд содержит бесконечное число членов и при таком представлении оказывается бесполезным, поскольку время вычисления в этом случае также равно бесконечности. К счастью, амплитуды гармоник для реальных зависимостей y(t) довольно быстро уменьшаются по мере роста номера гармоники k. Поэтому на практике имеют дело с ограниченными по числу гармоник рядами Фурье.

Помимо упомянутой формы ряд Фурье можно представить в виде:

            N

y(t) = å Mk × cos(2pkf1t + jk),

        k=1

где амплитуда гармоник Mk

и их фаза jk определяются выражениями:

Mk =

и

jk = –arctan(bk/ak).

     

Преимущество ряда в этой форме в том, что для вычисления каждого члена ряда нужно лишь один раз обращаться к довольно медленному вычислению тригонометрической функции. В дальнейшем будут приведены формулы, позволяющие вычислять коэффициенты Фурье (либо амплитуды и фазы гармоник) для любой функции y(t). Это является задачей спектрального анализа. Здесь же мы рассмотрим обратную задачу -- синтеза зависимости y(t) путем вычисления ряда Фурье с ограниченным числом членов.

Теория спектрального анализа и синтеза хорошо развита, и для многих зависимостей y(t) заведомо известны значения коэффициентов Фурье или законы изменения (с частотой или номером гармоники) амплитуд и фаз гармоник. Это позволяет синтезировать наиболее распространенные зависимости y(t).

Документ е6-1 реализует синтез периодических прямоугольных импульсов со скважностью равной 2 (меандра). Ряд Фурье для таких импульсов содержит только синусные члены, причем только с нечетными k. Это упрощает синтез, который в документе е6-1 реализован для 3, 7 и 15 гармоник.

Меандр -- не самая удачная для синтеза зависимость, поскольку он содержит резкие скачки. Для не очень сведущего в математике пользователя удивительно, что такого рода зависимость вообще синтезируется из синусоид, которые таких скачков не содержат и представляют собою гладкие функции. Естественно, что для получения скачков нужно брать очень большое число гармоник. Тем не менее уже при 15 гармониках синтезированный сигнал напоминает меандр и отличается от него конечным временем перепада и характерной волнистостью. Она усиливается после быстрых перепадов и является проявлением так называемого эффекта Гиббса [30].




Содержание  Назад  Вперед