Система MathCAD Plus 6.0 Pro




Система MathCAD Plus 6.0 Pro - стр. 64


y' = f(x, y).

Простейшим численным методом решения является простой метод Эйлера, при котором новую точку решения y(x) находят из формулы:

yi = yi-1 + h × f(xi-1, yi-1),

где h -- шаг приращения переменной x, i -- индекс, имеющий значения от 1 до N (N —   число интервалов решения с шагом h).

К сожалению, этот метод настолько груб (погрешность порядка h), что погрешность решения нередко достигает нескольких процентов. Она такова, что на графиках точного и данного решений наблюдается заметное расхождение. По этой причине реализация простого метода Эйлера не приводится. Пользователь легко может выполнить ее самостоятельно.

Документ е5-1 дает реализацию более совершенного модифицированного метода Эйлера. Этот метод имеет погрешность порядка h2, так что при h = 0.1 она обычно не превышает 1%. Для решения многих практических задач такая погрешность уже вполне приемлема, во всяком случае, на рис. 5.1 точки точного решения для тестового примера укладываются на расчетную кривую почти точно.

Для решения другого (отличного от тестового) дифференциального уравнения достаточно изменить шаг h, число точек решения N, функцию f(x, y) и задать новые начальные значения для x и y. Обратите внимание, что здесь и далее само решение по взаимосвязанным рекуррентным формулам задается в векторном виде (это, вообще говоря, не обязательно). Сравнение результатов вычислений y с данными точного решения yi показывает, что для нашего тестового примера заметные расхождения в третьей цифре результатов после десятичной точки начинаются лишь в конце решения.

5.2. Решение дифференциального уравнения первого порядка методом Рунге — Кутта

Точность решения можно существенно повысить, переходя к методам решения дифференциального уравнения более высокого порядка. Так, широко используемый на практике метод Рунге — Кутта четвертого порядка дает погрешность решения порядка h-4  , что удовлетворяет самым придирчивым требованиям к точности численных методов. Метод Рунге — Кутта неоднократно подробно описывался [6, 8, 14]. Его реализация дана в документе е5-2.




Содержание  Назад  Вперед